Том 20, номер 08, статья № 6

Аннотация:

Аналитическими и численными методами исследуются зависимости функций Риккати-Бесселя (РБ) 1, 2, 3 и 4-го родов действительного х и комплексного z = х + iy аргумента от их порядка l. Выявляются области увеличения модуля функций РБ с ростом l, устойчивые к погрешностям прямой, и области уменьшения модуля, устойчивые к погрешностям обратной рекурсии. Для функции РБ1 область устойчивости прямой рекурсии при x >> 1 определяется соотношением 0 ≤ l ≥ l_max = x - 0,5 - 0,80861x^1/3 - 0,1635x^-1/3 при условии |y| ≤ 0,4lgx + 0,5. В этой области относительная погрешность прямой рекурсии возрастает с ростом l пропорционально l^1/2. В области l > l_max прямая рекурсия приводит к формированию вместо РБ1 функции, равной сумме функций РБ1 и РБ2. Относительная погрешность обратной рекурсии для функции РБ1 во всем диапазоне l практически не зависит от ll, возрастает с ростом модуля z по закону |z|^1/2 и сравнивается при указанных выше ограничениях на y с погрешностью прямой рекурсии при l = l_max. Для инициализации начальных значений РБ1 при обратной рекурсии предложены упрощенная процедура вычисления отношения этих функций соседних порядков с использованием непрерывной дроби, дополнительное вычисление функций РБ2 при y = 0 или РБ3 при y > 0 методом прямой рекурсии и использование вронскиана соответствующих функций. Приводится программа на языке ФОРТРАН для вычисления указанного выше отношения функций РБ1. В устойчивых областях основная погрешность вычисления функций при задании аргументов в десятичной системе может определяться погрешностью их перевода в двоичную, используемую в компьютерах.